布隆过滤器 (Bloom Filter)是由Burton Howard Bloom于1970年提出,它是一种space efficient的概率型数据结构,用于判断一个元素是否在集合中。在垃圾邮件过滤的黑白名单方法、爬虫(Crawler)的网址判重模块中等等经常被用到。哈希表也能用于判断元素是否在集合中,但是布隆过滤器只需要哈希表的1/8或1/4的空间复杂度就能完成同样的问题。布隆过滤器可以插入元素,但不可以删除已有元素。其中的元素越多,false positive rate(误报率)越大,但是false negative (漏报)是不可能的。
-
算法描述 一个empty bloom filter是一个有m bits的bit array,每一个bit位都初始化为0。并且定义有k个不同的hash function,每个都以uniform random distribution将元素hash到m个不同位置中的一个。在下面的介绍中n为元素数,m为布隆过滤器或哈希表的slot数,k为布隆过滤器重hash function数.
为了add一个元素,用k个hash function将它hash得到bloom filter中k个bit位,将这k个bit位置1.
为了query一个元素,即判断它是否在集合中,用k个hash function将它hash得到k个bit位。若这k bits全为1,则此元素在集合中;若其中任一位不为1,则此元素比不在集合中(因为如果在,则在add时已经把对应的k个bits位置为1)。
不允许remove元素,因为那样的话会把相应的k个bits位置为0,而其中很有可能有其他元素对应的位。因此remove会引入false negative,这是绝对不被允许的。
当k很大时,设计k个独立的hash function是不现实并且困难的。对于一个输出范围很大的hash function(例如MD5产生的128 bits数),如果不同bit位的相关性很小,则可把此输出分割为k份。或者可将k个不同的初始值(例如0,1,2, … ,k-1)结合元素,feed给一个hash function从而产生k个不同的数。
当add的元素过多时,即n/m过大时(n是元素数,m是bloom filter的bits数),会导致false positive过高,此时就需要重新组建filter,但这种情况相对少见。 -
时间和空间上的优势 当可以承受一些误报时,布隆过滤器比其它表示集合的数据结构有着很大的空间优势。例如self-balance BST, tries, hash table或者array, chain,它们中大多数至少都要存储元素本身,对于小整数需要少量的bits,对于字符串则需要任意多的bits(tries是个例外,因为对于有相同prefixes的元素可以共享存储空间);而chain结构还需要为存储指针付出额外的代价。对于一个有1%误报率和一个最优k值的布隆过滤器来说,无论元素的类型及大小,每个元素只需要9.6 bits来存储。这个优点一部分继承自array的紧凑性,一部分来源于它的概率性。如果你认为1%的误报率太高,那么对每个元素每增加4.8 bits,我们就可将误报率降低为原来的1/10。add和query的时间复杂度都为O(k),与集合中元素的多少无关,这是其他数据结构都不能完成的。
如果可能元素范围不是很大,并且大多数都在集合中,则使用确定性的bit array远远胜过使用布隆过滤器。因为bit array对于每个可能的元素空间上只需要1 bit,add和query的时间复杂度只有O(1)。注意到这样一个哈希表(bit array)只有在忽略collision并且只存储元素是否在其中的二进制信息时,才会获得空间和时间上的优势,而在此情况下,它就有效地称为了k=1的布隆过滤器。
而当考虑到collision时,对于有m个slot的bit array或者其他哈希表(即k=1的布隆过滤器),如果想要保证1%的误判率,则这个bit array只能存储m/100个元素,因而有大量的空间被浪费,同时也会使得空间复杂度急剧上升,这显然不是space efficient的。解决的方法很简单,使用k>1的布隆过滤器,即k个hash function将每个元素改为对应于k个bits,因为误判度会降低很多,并且如果参数k和m选取得好,一半的m可被置为为1,这充分说明了布隆过滤器的space efficient性。 -
举例说明 以垃圾邮件过滤中黑白名单为例:现有1亿个email的黑名单,每个都拥有8 bytes的指纹信息,则可能的元素范围为2^64=10^9G ,对于bit array来说是根本不可能的范围,而且元素的数量(即email列表)为10^8 ,相比于元素范围过于稀疏,而且还没有考虑到哈希表中的collision问题。